21. 圆锥曲线的双切线方程

现在给一条圆锥曲线 $Γ : γ (x, y) = 0$ 及其外面一点 $P (x_{0}, y_{0})$ , 向圆锥曲线作两条切线.

切点弦方程 $l_{P} (x, y) = 0$ 的形式是熟知的, 但是两条切线呢?

1. 双切线方程

容易发现两条切线是等价的, 从而我们不太能简单地表示单独一条.

启动曲线系, 注意到切线是割线的极限, 双切线相乘后可以写成

λ γ (x, y) + l_{P}^{2} (x, y) = 0

的形式, 只需确定 $λ$ 的值.

代入 $P$ 坐标 $(x_{0}, y_{0})$ 即得

λ = γ (x_{0}, y_{0})

于是我们就得到了双切线相乘后的表达式:

γ (x_{0}, y_{0}) γ (x, y) + l_{P}^{2} (x, y) = 0

理论上来说可以通过因式分解还原出原来两条直线, 不过基本没用.

举一个具体的例子, 比如对于 $γ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$ , 有

(x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 1) (x^{2} + y^{2} - 1) = (x_{0} x + y_{0} y - 1)^{2}

例题.

(XMO 7th 一试) 过 $P (- 3, - 3)$ 作 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两条切线交 $y$ 轴于两点 $A, B$ , 求 $| O A | | O B |$ .

思路: 写出双切线方程后令 $x = 0$ , 韦达定理即可.

答案: $9$

相信大家遇到很多这样的题: 圆锥曲线上一点连出两条直线, 然后保证一些斜率和积是定值的条件, 就有两条直线与圆锥曲线另外交点连线过定点.

(这种题疑似有点过时了, 但是某省份的模拟题还在不停出)

但是实际上对于双切线也是能命制出类似的题的, 并且除了使用上面的双切线方程, 传统的齐次化也能做出 (能写过程!).

例题. 符号约定同上, $γ (x, y) = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1$ , 求过 $P$ 到 $Γ$ 两条切线的斜率和积.

将极线方程变形为

\frac{x_{0} (x - x_{0})}{a^{2}} + \frac{y_{0} (y - y_{0})}{b^{2}} = 1 - \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}

圆锥曲线方程变形为

\frac{(x - x_{0})^{2} + 2 x_{0} (x - x_{0})}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2} + 2 y_{0} (y - y_{0})}{b^{2}} = 1 - \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}

调整至齐次

(1 - \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}) (\frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}}) + {(\frac{x_{0} (x - x_{0})}{a^{2}} + \frac{y_{0} (y - y_{0})}{b^{2}})}^{2} = 0

后面就简单了, $k = \frac{y - y_{0}}{x - x_{0}}$ , 整理后韦达定理得

{\begin{cases} k_{1} + k_{2} = - \frac{x_{0} y_{0}}{a^{2} - x_{0}^{2}} \\ k_{1} k_{2} = \frac{b^{2} - y_{0}^{2}}{a^{2} - x_{0}^{2}} \end{cases}

应用我们得到的双切线方程的形式:

(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} - 1) (\frac{(x - x_{0} + x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0} + y_{0})^{2}}{b^{2}} - 1) - {(\frac{x_{0} (x - x_{0} + x_{0})}{a^{2}} + \frac{y_{0} (y - y_{0} + y_{0})}{b^{2}} - 1)}^{2} = μ [k_{1} (x - x_{0}) - (y - y_{0})] [k_{2} (x - x_{0}) - (y - y_{0})]

对比 $(x - x_{0})^{2}, (x - x_{0}) (y - y_{0}), (y - y_{0})^{2}$ 系数即可.

最后计算与齐次化类似, 略.